解题思路：（Ⅰ）连接AC1，AB1，便能得到MN∥AC1，并且容易证明AC1⊥平面A1BC，这样即可得到MN⊥平面A1BC．
（Ⅱ）通（Ⅰ）容易得到∠OBC1为直线BC1和平面A1BC所成的角，在Rt△OBC1中，根据边的关系求出这个角即可．
（Ⅲ）先作出二面角的平面角，根据（Ⅰ）过O作OE⊥A1B，交A1B于E，连接AE，容易得出∠AEO即为所求二面角的平面角，在Rt△AOE中根据变的关系求出即可．
（Ⅰ）连接AC1，AB1，则MN∥AC1，BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1；
∴BC⊥AC1，即AC1⊥BC，又AC1⊥A1C，A1C∩BC=C；
∴AC1⊥平面A1BC，∴MN⊥平面A1BC．
（Ⅱ）设AC1∩A1C=O，连接OB，则：∠C1BO即为直线BC1与平面A1BC所成角，在Rt△C1BO中：
C1O＝
2
2a，BC1＝
2a，∠C1OB＝90°；
∴sin∠C1BO＝
1
2，∴∠C1BO=30°；
∴直线BC1与平面A1BC所成角为30°．
（Ⅲ）过O作OE⊥A1B，交A1B于E，连接AE；
∵AC1⊥平面A1BC，∴A1B⊥AE；
∴∠OEA即为二面角A-A1B-C的平面角；
sin∠CA1B＝
a
3a＝
3
3，∴OE=
2a
2•
3
3＝
点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
考点点评： 考查线面垂直的判定定理，线面角的概念及求法，直角三角形边角的关系，二面角的概念、二面角的平面角的概念及求法．