Question

（2010•宝山区模拟）设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，设椭圆C上的点A（1

Answer 1

解题思路：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程．

（2）设F₁K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点Q的轨迹方程．

（3）利用参数表示出距离，再利用配方法求最小值．

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，又点A（1，[3/2]）在椭圆上，因此

1

22+

(

3

2)2

b2＝1 得b²=3，于是c²=1，所以椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝ 1，

（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：x＝

−1+x1

2，y＝

y1

2，即x₁=2x+1，y₁=2y．因此

(2x+1)2

4+

(2y)2

3＝1．即 (x+

1

2)2+

4y2

3＝1为所求的轨迹方程

（3）设P（2cosθ，

3sinθ），则|AP|²=（2cosθ-m）²+（

3sinθ）²=（cosθ-2m）²-3m²+3

∵cosθ∈[-1，1]，∴①若0＜m＜

1

2时，d(m)＝

−3m2+3；②m≥

1

2时，d(m)＝

点评：

本题考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程．