Question

已知数列{a n }的通项为a n ，前n项的和为S n ，且有S n =2-3a n ．

Answer 1

（1）n=1时，s ₁=2-3a ₁

∴a ₁=

1

2

当n≥2时3a _n=2-S _n①

3a _n-1=2-S _n-1②

①-②得3（a _n-a _n-1）=-a _n，

∴ 4 a n =3 a n-1 ⇒

a n

a n-1 =

3

4

∵{a _n}是公比为

3

4 ，首项为

1

2 的等比数列， a n =

1

2 (

3

4 ) n-1

（2）∵ a n =

1

2 (

3

4 ) n-1 =

2

3 •

3

4 (

3

4 ) n-1 =

2

3 •(

3

4 ) n

T n =

2

3 [1•(

3

4 )+2•(

3

4 ) 2 +…+n•(

3

4 ) n ]①

3

4 T n =

2

3 [1•(

3

4 ) 2 +2•(

3

4 ) 3 +…+n•(

3

4 ) n+1 ]②

①-②得

1

4 T n =

2

3 [1•(

3

4 )+(

3

4 ) 2 +…+(

3

4 ) n -n•(

3

4 ) n+1 ]

∴ T n =

8

3 [

3

4 [1- (

3

4 ) n ]

1-

3

4 -n•(

3

4 ) n+1 ]=8[1-(

3

4 ) n ]-

8

3 n•(

3

4 ) n+1

= 8-8(

3

4 ) n -

8

3 n(

3

4 ) n+1 =8-(

3

4 ) n [8+

8

3 n•

3

4 ]=8-(

3

4 ) n (8+2n)