1）角APB为定值,线段AB,是以M为圆心的圆上的一条弦,角APB即为弦AB所对的圆周角,如图,AM即为圆的一条半径,AM^2=3+1=4, AM=2.则以M点为圆心,以2为半径的圆,与Y轴的交点为（0,1）,即C点.角ACB=角APB.,AC=BC=AM=MC=2,所以三角形AMC,BMC为等边三角形,角ACM=角BCM=60度,角APB=角ACB=角ACM+角BCM=120度.
2)当角ABP=45°或角BAP=45°时,三角形ABD为直角三角形,此时点P（x,y）满足y=根3-x或y=x+根3.,x^2+(y+1)^2=4.联立解得,x=+1或-1,y=根3-1,设经过A,B,P三点的抛物线解析式为y=ax^2+b,将A,B,P三点的坐标代入,得3a+b=0,a+b=根3-1, a=(1-根3)/2,b=3(根3-1)/2.
所以,抛物线解析式为y=x^2*(1-根3)/2+3(根3-1)/2