s 是 has 的缩写没错.
have to 和 have got to 的短语表达基本一样,都是 must 的意思.
教科书上都学过 have to,因为这是惯用短语；have got to 大致可以归属于俚语,或惯用口语表达方式,添加 got 目的是加强语气.
She's got to go.在前面一长串说明后,很明显地就是 " 她必须得走（这个go 是离职的意思）"
很重要的概念是,并不是“她”主观说要走,而是旁人觉得“她不走问题解决不了”；因此,这样的语气和口吻有试图说服对方的意思,可以当成祈使句来理解.
例如：You've got to help me.你一定得帮我.
You've got to pay this bill.你必须付这账单.
They've got to get there in time to ...（...意味着 you do something about it,please.)