解题思路：（1）连接OD．根据切线的性质得OD⊥AD．所以∠AOD=60°．根据垂径定理得∠DCE=60°，CE=CD．故可判定△CDE是等边三角形；
（2）由（1）知CE=DE=2DF．根据三角函数可求DF．
（1）△DCE是等边三角形．
理由如下：
连接OD．
∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
又∵∠A=30°，∴∠AOD=60°．
∵BC为⊙O的直径且DE⊥AC，
∴
BE＝
BD；
CE＝
CD．
∴CE=CD，∠DCE=60°．
∴△DCE是等边三角形．
（2）∵⊙O的半径R=2．∴直径BC=4．
由BC是直径知∠BEC=90°．
在Rt△BEC中，
∵Sin∠CBE=[CE/BC＝sin60°，
∴CE=BCsin60°=4×
3
2]=2
3．
点评：
本题考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
考点点评： 此题考查切线的性质、垂径定理、三角函数的定义等知识点，综合性强，难度较大．