Question

如图，正三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的各棱长都相等， D 、 E 分别是 CC 1 和 AB 1 的中点

Answer 1

(1)证明

连结 EM 、 MF ，∵ M 、 E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB ₁的中点，

∴ BB ₁∥ ME ，又 BB ₁ 平面 EFM ，∴ BB ₁∥平面 EFM

(2)证明

取 BC 的中点 N ，连结 AN 由正三棱柱得

AN ⊥ BC ，

又 BF ∶ FC =1∶3，∴ F 是 BN 的中点，故 MF ∥ AN ，

∴ MF ⊥ BC ，而 BC ⊥ BB ₁， BB ₁∥ ME

∴ ME ⊥ BC ，由于 MF ∩ ME = M ，∴ BC ⊥平面 EFM ，

又 EF 平面 EFM ，∴ BC ⊥ EF

(3)解

取 B ₁C ₁的中点 O ，连结 A ₁O 知， A ₁O ⊥面 BCC ₁B ₁，由点 O 作 B ₁D 的垂线 OQ ，垂足为 Q ，连结 A ₁Q ，由三垂线定理， A ₁Q ⊥ B ₁D ，故∠ A ₁QD 为二面角 A ₁— B ₁D — C 的平面角，易得∠ A ₁QO =arctan

见详解