Question

某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)＝300+112x3−5x2+170x．每单位产品的价格是134元，求使利润

Answer 1

解题思路：设总收益R（x）=134x，利润L（x）=R（x）-C（x），在定义域内用导数可求利润函数的最大值．

由题意，生茶x单位产品时，总收益R（x）=134x，

利润为：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+

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12x3−5x2+170x）

=-

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12x3+5x2-36x-300，其定义域为[0，+∞）．

L′（x）=−

1

4x2+10x-36=-

1

4(x−36)(x−4)，

令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，

又∵L(0)＝−300，L(4)＝−369

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3，L(36)＝996，

且当4＜x＜36时，L′（x）＞0，即L（x）单调递增；当x＞36时，L′（x）＜0，即L（x）单调递减．∴L（36）=996是L（x）的最大值．

因此工厂生产36单位产品时有最大利润996元．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数在实际问题中的应用，解决关键是根据问题背景构造相应的函数模型，从而可运用导数处理．