Question

已知直线y=kx+1与双曲线3x 2 -y 2 =1有A、B两个不同的交点．

Answer 1

（1）设A（x ₁，kx ₁+1），B（x ₂，kx ₂+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，

∴x ₁x ₂+（kx ₁+1）（kx ₂+1）=0，即（k ²+1）x ₁x ₂+k（x ₁+x ₂）+1=0…①

由

y=kx+1

3 x 2 - y 2 =1 消去y得（3-k ²）x ²-2kx-2=0…②∴

x 1 + x 2 =

2k

3- k 2

x 1 x 2 =-

2

3- k 2

将其代入①得

-2( k 2 +1)

3- k 2 +

2 k 2

3- k 2 +1=0 ，解得k=1或k=-1．

当k=1时，方程②为2x ²-2x-2=0，有两个不等实根；

当k=-1时，方程②为x ²+x-1=0，有两个不等实根．

故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．

（2）若A（x ₁，kx ₁+1），B（x ₂，kx ₂+1）关于直线y=2x对称，

则

k=-

1

2

(k x 1 +1)+(k x 2 +1)=2( x 1 + x 2 )

将④整理得（k-2）（x ₁+x ₂）+2=0．

因为 x 1 + x 2 =

2k

2- k 2 ，所以

2k(k-2)

3- k 2 +2=0 ，解之，得 k=

3

2 ．这个结果与③矛盾．

故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称．