几何数学题已知△AOB,|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5.点P是△AOB内切圆上一点,求以|PA|,|PB|,|

1个回答

  • 因为△AOB,|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5,根据勾股定理,可知△AOB为直角三角形,其中∠O为直角

    以O为原点,OA为y轴,OB为x轴,建立坐标系,则O(0,0),A(0,4),B(3,0)

    内切圆半径设为r,根据圆的切线性质(圆外一点到圆的两条切线长度相等)

    得3-r+4-r=5 则r=1

    所以内切圆的半径为1,圆心为(1,1)

    则内切圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=1 分解得x²+y²-2x-2y+1=0

    设P点坐标为(x,y)

    |PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为

    ∏/4[x²+y²+(3-x)²+y²+x²+(4-y)²]

    =∏/4(3x²+3y²-6x-8y+25)

    =∏/4[3(x²+y²-2x-2y+1)-2y+22]

    =∏/2(11-y)

    因为y∈[0,2]

    则∏/2(11-y)最大值为y=0 |PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和(11/2)∏

    则∏/2(11-y)最小值为y=2 |PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为(9/2)∏