解题思路：由已知中函数f （x）是定义在闭区间[-a，a]（a＞0）上的奇函数，我们可以判断f（-A），f（A），进而求出F（x）的最大值与最小值，进而求出答案．
∵函数f （x）是定义在闭区间[-a，a]（a＞0）上的奇函数，
则函数的最大值和最小值，分别为f（-A），f（A），
又∵F（x）=f （x）+1，
∴F（x）最大值与最小值分别为f（-A）+1，f（A）+1，
∴F（x）最大值与最小值之和为2
故选B
点评：
本题考点： 奇偶函数图象的对称性．
考点点评： 本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据奇函数的性质，判断出函数f （x）在闭区间[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值互为相反数是解答本题的关键．