Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2+y2−4x−2y+52＝0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为

Answer 1

解题思路：先根据圆的方程配方得出圆心坐标和直径，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

圆（x-2）²+（y-1）²=[5/2]，直径AB=

10

设椭圆：

x2

a2+

y2

b2＝1（a＞b＞0），

又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（2，1）

∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，

AB斜率为−

1

2，∴K_AB=

y 1−y 2

x 1−x 2＝−

1

2

由

x21

a2+

y21

b2＝1

x22

a2+

y22

b2＝1⇒

y21−

y22

b2＝−

x21−

x22

a2⇒kAB＝

y1−y2

x1−x2＝−

b2

a2•

2

1＝−

1

2⇒a2＝4b2

将直线AB的方程y=-[1/2]x+2，代入椭圆方程得：x²+4y²-4b²=0

∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，

|AB|=

1+k 2|x₁-x₂|，∴10=（1+[1/4]）²[4²-4（8-2b²）]

解得：a²=12，b²=3，

故椭圆的方程为：

x2

12+

y2

3=1．

点评：

本题考点： 椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．