Question

已知函数f（x）=log121−kxx−1为奇函数

Answer 1

解题思路：（1）由于f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即可得出k；

（2）利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；

（3）利用（2）函数f（x）的单调性、指数函数的单调性即可得出．

（1）∵f（x）=log

1

2

1−kx

x−1为奇函数

∴f（-x）=-f（x），

即log

1

2

1+kx

−x−1=-log

1

2

1−kx

x−1，

∴1-k²x²=1-x²，整理得k²=1．

∴k=-1（k=1使f（x）无意义而舍去）．

（2）∵f（x）=log

1

2

1+x

x−1=log2

x−1

x+1

设a＞b＞1时，

∴f（a）-f（b）=log₂[a−1/a+1]-log₂[b−1/b+1]=log₂（[a−1/a+1]•

b+1

b−1）=log₂[ab+a−b−1/ab−a+b−1]

∵a＞b＞1时，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，

∴[ab+a−b−1/ab−a+b−1]＞1，

从而log₂[ab+a−b−1/ab−a+b−1]＞0

即f（a）-f（b）＞0．

∴f（a）＞f（b）．

f（x）在（1，+∞）递增

（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）递增，

∴g（x）=f（x）-(

1

2)x+m在[3，4]递增．

∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，

∴g（3）=log

1

2

1+3

3−1−(

1

2)3+m=-[9/8]+m＞0．

或g（4）=log

1

2

1+4

4−1−(

1

2)4+m=log

1

2

5

3-[1/16]+m＜0，

∴m＞[9/8]或m＜[1/16]-log

1

2

5

3

点评：

本题考点： 对数函数的图像与性质．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．