Question

若P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB=角BPC=角CPA=120度,则点P叫做三角形ABC的费尔马点.

Answer 1

(1)∵∠ABC=60度∴∠ABP+∠CBP=60度

又∵∠ABP+∠PAB=60度∴∠CBP=∠BAP

又∵∠APB=∠BPC

∴△APB∽△BPC

∴BP^2=PA×PC=12

∴PB=2√3

(2)在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB',CB'

因为是锐角三角形,即可在BB'上选取一点P,使得∠APB=120度

则∠APB'=60度,又∠ACB'=60度

所以A,P,C,B'四点共圆

所以∠CPB'=∠CAB'=60度

综上,∠APC=∠BPC=120度,可知P为费马点

再证BB'=PA+PB+PC

延长PC并截取CE=AP,连接EB'

因为内接的关系,易知∠PAB'+∠PCB'=180度,∠PAB'=∠ECB'

易证△PAB'≌△ECB',又∵∠B'EP=∠B'PE=60度

∴PB'=EB'=PE=PC+CE=PC+PA

得证BB'=PA+PB+PC