Question

已知函数f（x）=11+x2（1）判断f（x）的奇偶性；（2）确定函数f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你

Answer 1

解题思路：（1）利用函数的奇偶性的定义进行判断．（2）利用函数的单调性的定义进行判断证明．

（1）因为函数为f（x）=

1

1+x2，所以定义域为R，关于原点对称…（2分）

因为f(−x)＝

1

1+(−x)2＝

1

1+x2＝f(x)，

所以函数f（x）为偶函数．…（6分）

（2）在区间（-∞，0）上任取x₁＜x₂＜0，

则f(x1)−f(x2)＝

1

1+

x21−

1

1+

x22＝

x22−

x21

(1+

x21)(1+

x22)＝

(x1+x2)(x2−x1)

(1+

x21)(1+

x22)，

因为x₁＜x₂＜0，所以x₁+x₂0，

所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握利用定义法去判断和证明函数的性质．