如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线y=ax 2 -2x+c分别交线段

1个回答

  • (1)∵点C在直线AB:y=-2x+42上,且C点的横坐标为16,

    ∴y=-2×16+42=10,即点C的纵坐标为10;

    ∵D点在直线OB:y=x上,且D点的横坐标为4,

    ∴点D的纵坐标为4;

    (2)由(1)知点C的坐标为(16,10),点D的坐标为(4,4),

    ∵抛物线y=ax 2-2x+c经过C、D两点,

    256a-32+c=10

    16a-8+c=4 ,

    解得:

    a=

    1

    8

    c=10 .

    ∴抛物线的解析式为y=

    1

    8 x 2-2x+10;

    (3)∵Q为线段OB上一点,纵坐标为5,

    ∴Q点的横坐标也为5,

    ∵点P在抛物线上,纵坐标为5,

    1

    8 x 2-2x+10=5,

    解得x 1=8+2

    6 ,x 2=8-2

    6 .

    当点P的坐标为(8+2

    6 ,5),点Q的坐标为(5,5),线段PQ的长为2

    6 +3;

    当点P的坐标为(8-2

    6 ,5),点Q的坐标为(5,5),线段PQ的长为2

    6 -3.

    所以线段PQ的长为2

    6 +3或2

    6 -3;

    (4)∵PQ⊥x轴,

    ∴P、Q两点的横坐标相同,都为m,

    ∴P(m,

    1

    8 m 2-2m+10),Q(m,m)(此时Q在线段OB上)或Q(m,-2m+42)(此时Q在线段AB上).

    y=x

    y=-2x+42 ,

    解得

    x=14

    y=14 .

    ∴点B的坐标为(14,14).

    ①当点Q为线段OB上时,如图所示,

    在OD段,即当0≤m<4时,d=(

    1

    8 m 2-2m+10)-m=

    1

    8 m 2-3m+10=

    1

    8 (m-12) 2-8,d随m的增大而减小;

    在BD段,即当4≤m≤14时,d=m-(

    1

    8 m 2-2m+10)=-

    1

    8 m 2+3m-10=-

    1

    8 (m-12) 2+8,

    在对称轴右侧,d随m的增大而减小,即当12<m≤14时,d随m的增大而减小.

    则当0≤m<4或12≤m≤14时,d随m的增大而减小;

    ②当点Q为线段AB上时,如图所示,

    在BC段,即当14≤m<16时,d=(-2m+42)-(

    1

    8 m 2-2m+10)=-

    1

    8 m 2+32,

    在对称轴右侧,d随m的增大而减小,即当14≤m<16时,d随m的增大而减小;

    在CA段,即当16≤m≤21时,d=(

    1

    8 m 2-2m+10)-(-2m+42)=

    1

    8 m 2-32,

    在对称轴左侧,d随m的增大而减小,m不满足条件.

    综上所述,当0≤m<4或12≤m<16时,d随m的增大而减小.