解题思路：（1）易证△ABM≌△BCN，可得∠CBN=∠BAM，即可求得∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①根据题干中给出条件可得∠CBN=∠BAM，即可证明△ABM≌△BCN，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
②画出图形，易证CM=AN，和∠BAN=∠ACM=120°，即可证明△BAN≌△ACM，可得∠CAM=∠ABN，即可解题．
证明：（1）∵在△ABM和△BCN中，
AB＝BC
∠ABM＝∠BCN＝60°
BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，（SAS）
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠CBN=∠BAM，
∵在△ABM和△BCN中，
∠BAM＝∠CBN
AB＝BC
∠ABM＝∠C＝60°，
∴△ABM≌△BCN，（ASA）
∴BM=CN，故答案为是；
②画出图形，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵BM=CN，BC=AC
∴BM-BC=CN-AC，即CM=AN，
∵在△BAN和△ACM中，
BA＝AC
∠BAN＝∠ACM＝120°
AN＝CM，
∴△BAN≌△ACM，（SAS）
∴∠CAM=∠ABN，
∵∠ABN+∠ANB=60°，∠CAM=∠NAQ，
∴∠BQM=∠ANB+∠NAQ=60°．故答案为是．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
考点点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△BAN≌△ACM是解题的关键．