已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.

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  • 解题思路:(Ⅰ)设出圆心的坐标为(a,-2a),利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径,且根据圆与直线x+y=1相切,根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出圆心坐标,进而求出圆的半径,根据圆心和半径写出圆的标准方程即可.

    (Ⅱ)分类讨论,利用被圆C截得的弦长为2,求出直线的斜率,即可求直线l的方程.

    (Ⅰ)设所求圆心坐标为(a,-2a)

    由条件得

    (a−2)2+(−2a+1)2=

    |a−2a−1|

    2,化简得a2-2a+1=0,

    ∴a=1,

    ∴圆心为(1,-2),半径r=2

    ∴所求圆方程为(x-1)2+(y+2)2=

    2

    (Ⅱ)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.

    ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,

    由题得

    |k+2|

    1+k2=1,解得k=-[3/4],∴直线l的方程为y=-[3/4]x.

    综上所述:直线l的方程为x=0或y=-[3/4]x.

    点评:

    本题考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程.

    考点点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有两点间的距离公式,点到直线的距离公式,圆的标准方程,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,常常利用此性质列出方程来解决问题.