Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．

Answer 1

解题思路：（I）根据题意利用等差数列的通项与求和公式，建立关于首项a₁和d的方程组，解出数列{a_n}的首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式；

（II）根据等比数列的通项公式，结合（I）的结论算出b_n=（2n+1）•3^n-1，再根据错位相减法利用等比数列的求和公式，即可算出数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

（I）根据题意，可得

3a1+

3×2

2d+5a1+

4×5

2d＝50

(a1+3d)2＝a1(a1+12d)，

a1＝3

d＝2

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．

（II）

bn

an＝3n−1，bn＝an•3n−1=（2n+1）•3^n-1

T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1，

∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，

两式相减，得-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ

=3+6•

1−3n−1

1−3-（2n+1）•3ⁿ=-2n•3ⁿ，

∴数列{b_n}的前n项和T_n=n•3ⁿ．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题给出等差数列满足的条件，求它的通项公式并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差数列的通项与求和、等比数列的通项与求和公式和错位相减法求数列的前n项和等知识，属于中档题．