Question

如图,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若∠HAF=45.试证明矩形P

Answer 1

延长CB到点M,使BM=DH,连接AM.

因为：AD=AB,DH=BM,∠D=∠ABM=90°,所以△ADH≌△ABM（边角边）

所以：AH=AM,∠DAH=∠BAM

因为：∠FAH=45°,所以,∠FAM=∠FAB+∠BAM=∠FAB+∠DAH=90°-45°=45°=∠FAH

AF=AF

所以：△AFH≌△AFM（边角边）

FH=FM

设DH=x,BF=y,正方形的边长为常数a.

FH=FM=x+y

在△CFH中,

（a-y)^2+(a-x)^2=(x+y)^2

化简得：a^2-ax-ay=xy

两边全加xy

a^2-ax-ay+xy=2xy

(a-x)(a-y)=2xy

即：矩形CFHP的面积=2矩形AGPE.