Question

我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+）分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证：两个

Answer 1

(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]等价于

[(a+b)/2]^2≤[(a^2+b^2)/2]等价于

(a+b)^2≤2a^2+2b^2等价于

2ab≤a^2+b^2等价于(a-b)^2≥0显然成立

设2个直角边x,y,则x^2+y^2=1,面积S=xy/2≤1/4,由内切圆的定义可知,

S=(x+y+1)r/2,所以xy=r(x+y+1),x+y≥根号2,所以r=xy/(1+x+y)≤

1/[4(1+根号2)]=(根号2-1)/4