Question

已知等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3，…），则q的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：首先判断出首项a₁＞0，分q是否为1，写出Sn的表达式，再用验证的方法考察S_n＞0时q的取值范围．

当n=1时，a₁=S₁＞0，首项必为正数．

（1）当q=1时，Sn=na₁＞0，

（2）当q≠1时，Sn=a₁•

1−qn

1−q

①若q＞1，则1-q＜0，1-qⁿ＜0，S_n＞0成立．

②若0＜q＜1，则1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．

③若-1＜q＜0，则 1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．

④若q≤-1，则当n为偶数时，1-qⁿ≤0，S_n＞0不成立．

综上所述，q的取值范围是q＞-1且q≠0，

故答案为：q＞-1且q≠0

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比数列的前n项和公式，分式不等式的解法．需具有良好的分类讨论的意识和能力．