Question

1.三角形ABC中,若(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 < 2,求证：三角形ABC为钝角三角形

Answer 1

1、∵(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 < 2

∴3-[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2]1

即(cosA)^2+(cosB)^2>(sinC)^2 =(sin(A+B))^2

而(sin(A+B))^2

=(sinA)^2*(cosB)^2+(cosA)^2*(sinB)^2+2sinA*cosA*sinB*cosB

即(cosA)^2+(cosB)^2>(sinA)^2*(cosB)^2+(cosA)^2*(sinB)^2+2sinA*cosA*sinB*cosB

整理,得：

(cosA)^2*(1-(sinB)^2)+(cosB)^2*(1-(sinA)^2)-2sinA*cosA*sinB*cosB>0

即cosA*cosB*(cosA*cosB-sinA*sinB)>0

即cosA*cosB*cos(A+B)>0

①若三角形为锐角三角形,则C90度,所以cosA*cosB*cos(A+B)