解题思路：（1）m即正方形的周长，l由3段14圆弧构成，其中2段弧所在圆的半径等于1，1段弧所在圆的半径等于2，从而求得l的值．（2）用分段函数表示函数f（x）的解析式，由此求出递增区间和递减区间，及函数的零点．（3）易知直线y=ax恒过原点，函数y=f（x），x∈[-8，8]的图象关于y轴对称，分类讨论直线y=ax在每一段上与y=f（x）的交点的个数，综合可得结论．
（1）m即正方形的周长，∴m=4，…（2分）
l由3段[1/4]圆弧构成，其中2段弧所在圆的半径等于1，1段弧所在圆的半径等于
2，
故l=2[[1/4]×2π×1]+[1/4]×2π×
2=（1+
2
2）π．…（4分）
（2）函数f（x）=
2−(x−4k+2)2 ， 4k−2≤x≤4k−1
1−(x−4k+1)2， 4k−1≤x≤4k
1−(x−4k−1)2， 4k≤x≤4k+1
2−(x−4k−2)2， 4k+1≤x≤4k+2，k∈z．…（7分）
函数性质 结论
奇偶性 偶函数
单调性 递增区间 [4k，4k+2]，k∈z
递减区间 [4k-2，4k]，k∈z
零点 x=4k，k∈z…（10分）
（3）f（x）=a|x|在区间[-8，8]删的根的个数即为函数f（x）的图象和直线y=a|x|的交点个数，
（i）易知直线y=ax恒过原点；
当直线y=ax过点（1，1）时，a=1，此时点（2，0）到直线y=x的距离为
2，
直线y=x与曲线 y=
2−(x−2)2，x∈[1，3]相切．
当x≥3时，y=x恒在曲线y=f（x）之上．
（ii）当直线y=ax与曲线 y=
2−(x−6)2，x∈[5，7]相切时，由点（6，0）到直线y=ax
的距离为
2，a=
1
17，此时点（5，0）到直线 y=
1
17x的距离为
5
18，
直线y=
1
17x与曲线y=
1−(x−5)2，x∈[4，5]相离．
（iii）当直线y=ax与曲线 y=
1−(x−5)2，x∈[4，5]相切时，由点（5，0）到直线 y=ax
的距离为1，a=
1
24=
6
12，此时点（6，0）到直线y=
1
24x的距离为
6
25＜
2，
直线y=
1
24x与曲线 y=
2−(x−6)2，x∈[5，7]相交于两个点．
（ⅳ）当直线y=ax过点（5，1）时，a=[1/5]，此时点（5，0）到直线y=[1/5]x的距离为
5
26＜1，直线y=[1/5]x与曲线 y=
1−(x−5)2，x∈[4，5]相交于两个点．
点（6，0）到直线y=[1/5]x的距离为
6
26＜
2，直线y=[1/5]x与曲线y=
2−(x−6)2，x∈[5，7]相交于两个点．
（ⅴ）当a=0时，直线y=0与曲线y=f（x），x∈[-8，8]有且只有5个交点；
（ⅵ）当a＜0时，直线y=ax与曲线y=f（x），x∈[-8，8]有且只有1个交点；
因为函数y=f（x），x∈[-8，8]的图象关于y轴对称，…（14分）
故综上可知：（1）当a＜0时，方程 f（x）=a|x|只有1实数根；
（2）当a＞
17
17时，方程f（x）=a|x|有3个实数根；
（3）当a=
17
17，或a=0时，方程f（x）=a|x|有5个实数根；
（4）当 0＜a＜[1/5]或
6
12＜a＜
17
17时，方程f（x）=a|x|有7个实数根；
（5）当a=
6
12时，方程f（x）=a|x|有9个实数根；
（6）当a=[1/5]，方程f（x）=a|x|有2个实数根；
（7）当[1/5]＜a＜
6
12时，方程f（x）=a|x|有11个实数根．…（18分）
点评：
本题考点： 分段函数的应用；进行简单的合情推理．
考点点评： 本题主要考查分段函数的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．