Question

（2003•三明）已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交B

Answer 1

解题思路：欲证AB²=AG•BF，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．

证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，

∵EG∥CB，

∴∠EAG=∠FBC．

∴△EAG∽△FBC．

∴[AG/BC＝

AE

BF]，即BC•AE=AG•BF．

又∵BC=AE=AB，

∴AB²=AG•BF．①

（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，

∴EF⊥BC且EF平分BC，

∴EF过圆心O．

又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，

∴EG与⊙O相切．

∴EG²=AG•BG．

由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，

设AG=x，则2²=x（x+2），解得x=

5−1，

∴AG=

5−1，代入①中可得：BF=

5+1．

点评：

本题考点： 正多边形和圆；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出，同时考查了切线的性质．