Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F分别为AB1，CC1，BC的中点．

Answer 1

解题思路：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG，根据三角形中位线定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性质得到DE∥平面ABC；

（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B₁F⊥AF；由勾股定理可得B₁F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B₁F⊥平面AEF．

（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面B₁AE和平面AEF的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

证明：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG

∵D，E为AB₁，CC₁的中点，

则DG∥AB，EG∥AC，

又∵DG，EG⊂平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC⊂平面ABC

∴平面GDE∥平面ABC，

又∵DG⊂平面GDE

∴DG∥平面ABC．

（2）连结AF，则AF⊥平面BCC₁B₁．

∵AB=AC，F为BC的中点

∴AF⊥BC

∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱

∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁．

又∵平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC

∴AF⊥平面BCC₁B₁，

又∵B₁F⊂平面BCC₁B₁，

∴B₁F⊥AF，

在△B₁FE中，B₁F=

6

2AB，B₁=[3/2]AB，EF=

3

2AB

由勾股定理易得B₁F⊥EF，

又∵AF，EF⊂平面AEF，AF∩EF=F

∴B₁F⊥平面AEF．

（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，

则

B1F=（−

1

2，[1/2]，-1）为平面AEF的法向量．

又

AB1=（1，0，1），

AE=（0，1，[1/2]），

设平面B₁AE的法向量为

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答（1）（2）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（3）的关键．