Question

在底半径为r,高为h的正圆锥内,内接一个体积最大的长方体,问该长方体的长、宽、高应各等于多少?

Answer 1

设长、宽、高分别为a、b、c,

则：长方体上顶面所接圆锥截面的半径r'=1/2*v(a^2+b^2),

h/r=(h-c)/r'——》c=h(r-r')/r,

V=a*b*c=abh-abh*v(a^2+b^2)/2r,

dV/da=bh[1-(2a^2+b^2)/2rv(a^2+b^2)]=0,

——》2a^2+b^2=2rv(a^2+b^2),

dV/db=ah[1-(a^2+2b^2)/2rv(a^2+b^2)]=0,

——》a^2+2b^2=2rv(a^2+b^2),

——》a=b=2v2r/3,

——》r‘=1/2*v(a^2+b^2)=2r/3,

——》c=h(r-r')/r=h/3.