Question

如图1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、

Answer 1

解题思路：（1）根据条件取F为BC的中点，连OF、FH，由中位线性质和线面平行的判定证明面HOF∥面DEC，再证明

OH∥平面DEC；

（2）由E和O分别是中点得，DO⊥AE，再由长度和勾股定理证明DO⊥AE，根据线面垂直的判定证明DO⊥平面ABCE，再由面面垂直的判定得结论；

（3）由DO⊥平面ABCE和H是中点，求出三棱锥的高，代入体积公式求值．

证明：（1）取F为BC的中点，连OF、FH，

∵O、F分别为AE、BC的中点

，∴OF∥EC，

∵OF⊄面DEC，EC⊂面DEC，

∴OF∥面DEC，

同理可证，HF∥面DEC，OF∩HF=F，

∴面HOF∥面DEC，又OH⊂面HOF，

∴OH∥平面DEC；

（2）∵AD=DE=2，且点O是AE的中点，

∴DO⊥AE，DO=

2，

∵M为AB的中点，∴OM=

2，且AE⊥OM，

又∵DM=2，∴DO²+OM²=DM²，

∴DO⊥OM，

∵DO⊥AE，AE∩OM=O，∴DO⊥平面ABCE，

∵DO⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；

（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，

∴点H到平面OMB的距离是[1/2]DO=

2

2，

则V_H-OMB=

1

3×

1

2×1×2×

2

2=

2

6．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查了三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直和面面垂直的性质、判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，考查了空间想象能力、推理论证的能力．