由抛物线y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3),易求得
A,C坐标为A(1,0),C(0,3)
∴OA=1,OC=3
抛物线对称轴为x=2
设抛物线上的点P为P(x,y),对称轴上的点为Q(2,q)
由于AP⊥PQ,∴有y/(x-1)*(y-q)/(x-2)=-1
易求得q=y+(x-2)/(x-3) (1)
∴AP=√[(x-1)^2+y^2],PQ=√[(x-2)^2+(y-q)^2]
又P在抛物线上,故有
y=x^2-4x+3 (2)
∵△OAC∽△PAQ
∴有 OA/OC=AP/PQ 或 OA/OC=PQ/AP
①对于OA/OC=AP/PQ
有 1/3=√[(x-1)^2+y^2]/√[(x-2)^2+(y-q)^2] (3)
联立(1)(2)(3),可解得
x=(13+√37)/6,y=(1+√37)/18
x=(13-√37)/6,y=(1-√37)/18
x=(11+√37)/6,y=(1-√37)/18
x=(11-√37)/6,y=(1+√37)/18
此时,共有4个P点
②对于OA/OC=PQ/AP
有 1/3=√[(x-2)^2+(y-q)^2]/√[(x-1)^2+y^2] (4)
联立(1)(2)(4),可解得
x=(7+√13)/2,y=3(3+√13)/2
x=(7-√13)/2,y=3(3-√13)/2
x=(1+√13)/2,y=3(3-√13)/2
x=(1-√13)/2,y=3(3+√13)/2
此时,也有4个P点
综上所述,共存在8个符合条件的P点