Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和

Answer 1

解题思路：（1）根据AD₁=BD₂就可以证明AD₂=BD₁，根据等角对等边证明AD₂=D₂F，D₁E=D₁B即可．

（2）由于△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P，再求各三角形的面积即可．

（3）先假设存在x的值使得y=[1/4]S_△ABC，再求出△ABC的面积，然后根据（2）所求y=-[18/25]x²+[24/5]x（0≤x≤5）建立等量关系，解出x的值，即可证明存在x的值．

（1）D₁E=D₂F．

∵C₁D₁∥C₂D₂，

∴∠C₁=∠AFD₂．

又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，

∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁

∴∠C₁=∠A，

∴∠AFD₂=∠A

∴AD₂=D₂F．

同理：BD₁=D₁E．

又∵AD₁=BD₂，

∴AD₂=BD₁．

∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，

∴由勾股定理，得AB=10．

即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5

又∵D₂D₁=x，

∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．

∴C₂F=C₁E=x

在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，为[24/5]．

设△BED₁的BD₁边上的高为h，

由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，

∴[h

24/5＝

5−x

5]．

∴h=

24(5−x)

25．S_△BED1=[1/2]×BD₁×h=[12/25]（5-x）²

又∵∠C₁+∠C₂=90°，

∴∠FPC₂=90度．

又∵∠C₂=∠B，sinB=[4/5]，cosB=[3/5]．

∴PC₂=[3/5]x，PF=[4/5]x，S_△FC2P=[1/2]PC₂×PF=[6/25]x²

而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=[1/2]S_△ABC-[12/25]（5-x）²-[6/25]x²

∴y=-[18/25]x²+[24/5]x（0≤x≤5）．

（3）存在．

当y=[1/4]S_△ABC时，即-[18/25]x²+[24/5]x=6，

整理得3x²-20x+25=0．

解得，x₁=[5/3]，x₂=5．

即当x=[5/3]或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的[1/4]．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题综合性强，考查图形的平移、二次函数解析式的确定以及综合问题、分析问题、解决问题的能力，考查较全面．同时本题是一道操作性问题，而且是动态问题，第1小题不难解决，第2小题的一大难点是如何求阴影部分的面积，要注意领会这种整体补形法．