解题思路:(1)根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值,由此可得到抛物线的解析式,通过配方可求出顶点A的坐标;
(2)根据A、B的坐标,易求得直线AB的解析式,进而可确定直线l的解析式,即可表示出P点的坐标;由于P点的位置不确定,因此本题要分成两种情况考虑:
①P点位于第四象限,此时t>0,四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得,由此可得到关于S、t的函数关系式,根据S的取值范围即可判断出t的取值范围;
②P点位于第二象限,此时t<0,可分别过A、P作x轴的垂线,设垂足为N、M;那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得,由此可得到关于S、t的函数关系式,可参照①的方法求出t的取值范围;
结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围;
(3)根据(2)的结论,可求出t的最大值,由此可得到P点的坐标;若△OPQ为直角三角形且OP为直角边,那么有两种情况需要考虑:①∠QOP=90°,②∠OPQ=90°;
可分别过Q、O作直线l的垂线m、n,由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1,根据直线l的解析式以及Q、O的坐标,即可求出直线m、n的解析式,联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标.
(1)∵点B与O(0,0)关于x=3对称,
∴点B坐标为(6,0).
将点B坐标代入y=ax2+2x得:
36a+12=0;
∴a=−
1
3.
∴抛物线解析式为y=−
1
3x2+2x.(2分)
当x=3时,y=−
1
3×32+2×3=3;
∴顶点A坐标为(3,3).(3分)
(说明:可用对称轴为x=−
b
2a,求a值,用顶点式求顶点A坐标)
(2)设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
∴
6k+b=0
3k+b=3
解得
k=−1
b=6,
∴y=-x+6.
∵直线l∥AB且过点O,
∴直线l解析式为y=-x.
∵点P是l上一动点且横坐标为t,
∴点P坐标为(t,-t).(4分)
当P在第四象限时(t>0),
S=S△AOB+S△OBP
=[1/2]×6×3+[1/2]×6×|-t|
=9+3t.
∵0<S≤18,
∴0<9+3t≤18,
∴-3<t≤3.
又∵t>0,
∴0<t≤3.(5分)
当P在第二象限时(t<0),
作PM⊥x轴于M,设对称轴与x轴交点为N,
则S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO
=
1
2[3+(−t)]•(3−t)+
1
2×3×3−
1
2(−t)(−t)
=
1
2(t−3)2+
9
2−
1
2t2
=-3t+9;
∵0<S≤18,
∴0<-3t+9≤18,
∴-3≤t<3;
又∵t<0,
∴-3≤t<0;(6分)
∴t
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定,函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点,同时还考查了分类讨论的数学思想,难度较大.