Question

斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：设斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程（m为参数），利用根与系数的关系，得到x₁+x₂与x₁x₂关于m的表示式．设M（x，y），由中点坐标公式算出x=1-m且y=x+m=1，最后根据一元二次方程根的判别式算出m

＜

1

2

，进而得到x

＞

1

2

，可得线段AB中点M的轨迹方程．

设M的坐标为（x，y），斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

由

y＝x+m

y2＝2x消去y，得x²+（2m-2）x+m²=0，…（2分）

根据一元二次方程根与系数的关系，得

x1+x2＝2−2m

x 1x2＝m2…（6分）

∵点M是线段AB的中点，

∴x＝

x1+x2

2＝1−m，y=x+m=1，…（8分）

∵直线与抛物线有两个不同交点，

∴△=（2m-2）²-4m²＞0，解之得m＜

1

2，

结合x=1-m可得M横坐标的范围是（[1/2]，+∞），…（9分）

因此，线段AB中点M的轨迹方程为：y＝1(x∈(

1

2，+∞))．…（10分）

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题给出斜率为1的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB中点的轨迹方程，着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．