(2012•南京二模)函数f(x)=|ex-bx|,其中e为自然对数的底.

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  • 解题思路:(1)记g(x)=ex-bx,当b=1时,g′(x)=ex-1,从而可得f′(1)=g′(1)=e-1,由此可求切线方程;

    (2)f(x)=0同解于g(x)=0,因此,只需g(x)=0有且只有一个解,即方程ex-bx=0有且只有一个解,因为x=0不满足方程,所以方程同解于b=

    e

    x

    x

    ,分类讨论可得当x∈(0,+∞)时,方程有且只有一解等价于b=e;当x∈(-∞,0)时,方程有且只有一解等价于b∈(-∞,0),从而可得b的取值范围;

    (3)由g′(x)=ex-b=0,得x=lnb,从而可得在x=lnb时,g(x)取极小值g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb),再分类讨论,即可得到结论.

    (1)记g(x)=ex-bx.

    当b=1时,g′(x)=ex-x.

    当x>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上为增函数.

    又g(0)=1>0,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)>0.

    所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=|g(x)|=g(x),

    所以f′(1)=g′(1)=e-1.

    所以曲线y=f(x)在点(1,e-1)处的切线方程为:y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.…(4分)

    (2)f(x)=0同解于g(x)=0,因此,只需g(x)=0有且只有一个解,即方程ex-bx=0有且只有一个解.

    因为x=0不满足方程,所以方程同解于b=

    ex

    x.…(6分)

    令h(x)=

    ex

    x,由h′(x)=

    (x−1)ex

    x2=0得x=1.

    当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(x)∈(e,+∞);

    当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(e,+∞);

    所以当x∈(0,+∞)时,方程b=

    ex

    x有且只有一解等价于b=e.…(8分)

    当x∈(-∞,0)时,h(x)单调递减,且h(x)∈(-∞,0),

    从而方程b=

    ex

    x有且只有一解等价于b∈(-∞,0).

    综上所述,b的取值范围为(-∞,0)∪{e}.…(10分)

    (3)由g′(x)=ex-b=0,得x=lnb.

    当x∈(-∞,lnb)时,g′(x)<0,g(x)单调递减.

    当x∈(lnb,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.

    所以在x=lnb时,g(x)取极小值g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb).

    ①当0<b≤e时,g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb)≥0,从而当x∈R时,g(x)≥0.

    所以f(x)=|g(x)|=g(x)在(-∞,+∞)上无极大值.

    因此,在x∈(0,2)上也无极大值.…(12分)

    ②当b>e时,g(lnb)<0.

    因为g(0)=1>0,g(2lnb)=b2-2blnb=b(b-2lnb)>0,

    (令k(x)=x-2lnx.由k′(x)=1-[2/x]=0得x=2,从而当x∈(2,+∞)时,k(x)单调递增,

    又k(e)=e-2>0,所以当b>e时,b-2lnb>0.)

    所以存在x1∈(0,lnb),x2∈(lnb,2lnb),使得g(x1)=g(x2)=0.

    此时f(x)=|g(x)|=

    g(x),x≤x1或x≥x2

    −g(x),x1<x<x2

    所以f(x)在(-∞,x1)单调递减,在(x1,lnb)上单调递增,在(lnb,x2)单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. …(14分)

    所以在x=lnb时,f(x)有极大值.

    因为x∈(0,2),所以当lnb<2,即e<b<e2时,f(x)在(0,2)上有极大值;

    当lnb≥2,即b≥e2时,f(x)在(0,2)上不存在极大值.

    综上所述,在区间(0,2)上,当0<b≤e或b≥e2时,函数y=f(x)不存在极大值;

    当e<b<e2时,函数y=f(x),在x=lnb时取极大值f(lnb)=b(lnb-1).…(16分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查导数的几何意义,考查函数的极值,考查分类讨论的数学思想,难度较大.