Question

设x,y为正有理数,根号x,根号y为无理数,求证:根号x+根号y为无理数

Answer 1

反证法.

假设存在既约分式m/n满足√x + √y = m/n,那么移项可得

√x = m/n - √y,两边平方得

x = m²/n² + y - 2m√y/n,整理得

√y = n(m²/n² - x + y)/(2m).

上式左边是无理数,右边是有理数,这一矛盾说明了假设的错误.

因此,√x + √y不能表示成既约分式,它是无理数.