Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意a，b∈R且当a+b≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b＞0．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上是的增函数；

（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0进行转化，即可求实数m的取值范围．

（1）不妨设x₁＜x₂，由

f(a)+f(b)

a+b＞0，

得

f(x1)+f(−x2)

x1+(−x2)＞0，

又f（x）是定义域为R的奇函数，

∴

f(x1)−f(x2)

x1−x2＞0，

而x₁-x₂＜0

∴f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）在R上是增函数．

（2）∵f（x）是奇函数，

∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0⇔f（mt²+1）＞f（mt-1），

∵f（x）在R上是增函数，

∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立

即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立

即mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．

当m=0时，不等式即为2＞0恒成立，合题意；

当m≠0时，有

m＞0

△＝m2−8m＜0，

即0＜m＜8

综上：实数m的取值范围为0≤m＜8．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数单调性与奇偶性的应用，综合考查函数性质的综合应用．