Question

求对数螺线ρ=eθ（由极坐标方程给出）在点（ρ，θ）=(eπ2，π2)处的切线的直角坐标方程．

Answer 1

解题思路：首先写出对数螺线的参数方程，利用参数方程的求导法则计算[dy/dx]的表达式；然后利用导数的几何意义即可求出所求的切线方程．

对数螺线的参数方程为：

x＝eθcosθ

y＝eθsinθ，

从而，x′（θ）=e^θ（cosθ-sinθ），y′（θ）=e^θ（cosθ+sinθ），

故[dy/dx]=

y′(θ)

x′(θ)=[cosθ+sinθ/cosθ−sinθ]．

将θ＝

π

2代入可得，

dy

dx|θ＝

π

2＝

cosθ+sinθ

cosθ−sinθ|θ＝

π

2＝−1．

当θ＝

π

2时，x＝0，y＝e

π

2，故所求切线方程为：

y−e

π

2＝−(x−0)，

即：y＝−x+e

π

2．

点评：

本题考点： 求函数在某点的切线方程与法线方程．

考点点评： 本题主要考查了参数方程的求导方法、导数的几何意义以及函数在某点的切线方程的求法．题目具有综合性，难度系数适中，需要仔细的计算．