解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，分别讨论①当a=0时②当0＜a＜[1/2]时③当a=[1/2]时④当a＜0时，⑤当[1/2]＜a＜1时，⑥当a≥1时的情况，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）当
a＝
1
4
时，根据函数的单调性，得出
f(
x
1
)≥f(1)＝−
1
2
，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），从而
−
1
2
≥g(
x
2
)
的最小值，求出b的范围．
（Ⅰ）∵f′（x）=-
[ax+(a−1)](x−1)
x2（x＞0），
令g（x）=ax2-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜[1/2]时，由f′（x）=0，x1=1，x2=[1/a]-1．此时 [1/a]-1＞1＞0，
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和（[1/a]-1，+∞）上单调递减，在区间（1，[1/a]-1）上单调递增；
③当a=[1/2]时，x1=x2，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于 [1/a]-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
⑤当[1/2]＜a＜1时，令f′（x）=
−ax2+x+a−1
x2＞0，得-ax2+x+a-1＞0，解得：[1/a]-1＜x＜1，
此时f（x）在（[1/a]-1，1）递增，在（0，[1/a]-1）和（1，+∞）递减；
⑥当a≥1时，由于[1/a]-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax2+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=[1/2]时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜[1/2]时，函数f（x）在区间（0，1）和（[1/a]-1，+∞）上单调递减，在区间（1，[1/a]-1）上单调递增．
当[1/2]＜a＜1时，f（x）在（[1/a]-1，1）递增，在（0，[1/a]-1）和（1，+∞）递减；
当a≥1时，函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）当a＝
1
4时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，
所以对任意x1∈（0，2），有f(x1)≥f(1)＝−
1
2，
又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
所以−
1
2≥g(x2)的最小值，最后答案为b＞[17/4]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．