Question

（2012•蚌埠模拟）已知数列{an}满足a1=2，且an=an−1an−1+1(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

解题思路：（1）由a_n=

a

n−1

a

n−1

+1

(n∈

N

*

，n≥2)

可构造等差数列，可求

1

a

n

，进而可求a_n

（2）结合数列的特点，考虑利用裂项求和方法即可求解

（1）由a_n=

an−1

an−1+1(n∈N*，n≥2)

可得[1

an＝1+

1

an−1

即

1

an−

1

an−1＝1

∴数列{

1

an}是以

1/2]为首项，以1为公差的等差数列

∴[1

an＝

1/2+n−1＝n−

1

2]

∴an＝

2

2n−1

（2）∵a_na_n+1=[1

(2n−1)(2n+1)=2（

1/2n−1−

1

2n+1]）

∴Sn＝2(1−

1

3+

1

3−

1

5+…+

1

2n−1−

1

2n+1)

=2（1-[1/2n+1]）=[4n/2n+1]

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，数列的裂项求和方法的应用是求和的关键