Question

（2014•包头二模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．

Answer 1

解题思路：（1）直三棱柱的侧面为矩形，在矩形ACC1A1中，由勾股定理的逆定理证得CD⊥DC1，再由条件CD⊥B1D，即可证得CD⊥平面B1C1D，从而结论成立；（2）设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，可证B1C1⊥平面ACC1A1，由棱锥的体积公式，即可得到V1=VB1-CDA1C1=12B1C13，计算三棱柱的体积为V=B1C13，则V1=V2．

（1）证明：

由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，

由D为AA₁的中点，则DC=DC₁，

又AA₁=2AC，可得DC₁²+DC²=CC₁²，

则CD⊥DC₁，

而CD⊥B₁D，B₁D∩DC₁=D，

则CD⊥平面B₁C₁D，

由于B₁C₁⊂平面B₁C₁D，

故CD⊥B₁C₁；

（2）由（1）知，CD⊥B₁C₁，

且B₁C₁⊥C₁C，则B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，

设V₁是平面CDB₁上方部分的体积，

V₂是平面CDB₁下方部分的体积，

则V₁=V_B1-CDA1C1=[1/3]S_CDA1C1•B₁C₁=[1/3]×[3/2]•B₁C₁³=[1/2]B₁C₁³，

V=V_ABC-A1B1C1=[1/2]AC•BC•CC₁=B₁C₁³，

则V₂=V-V₁=[1/2]B₁C₁³=V₁，

故这两部分体积的比为1：1．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查空间直线与平面垂直的判定和性质定理及运用，考查空间几何体的体积，记熟柱体和锥体的体积公式，考查运算能力，属于中档题．