如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB= BC,E、F分别为棱AB,PC的中点,

1个回答

  • 证明:(Ⅰ)取线段PD的中点M,连接FM,AM,

    因为F为PC的中点,所以FM∥CD,且

    因为四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,

    所以EA∥CD,且

    所以FM∥EA,且FM=EA,

    所以四边形AEFM为平行四边形,

    所以EF∥AM,

    又AM

    平面PAD,EF

    平面PAD,

    所以EF∥平面PAD。

    (Ⅱ)设AC,DE相交于G,

    在矩形ABCD中,因为

    E为AB的中点,所以

    又∠DAE=∠CDA,

    所以△DAE∽△CDA,

    所以∠ADE=∠DCA,

    又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,

    所以∠DCA+∠CDE=90°,

    由△DGC的内角和为180°,

    得∠DGC=90°,即DE⊥AC,

    因为点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上,

    所以PO⊥平面ABCD,

    因为DE

    平面ABCD,

    所以PO⊥DE,

    因为PO∩AC=O,PO,AC

    平面PAC,

    所以DE⊥平面PAC,

    又DE

    平面PDE,

    所以平面PAC⊥平面PDE。