Question

已知函数f（x）=[1/3]x3-x2+ax-a（a∈R）．

Answer 1

（1）f（x）=[1/3x3−x2−3x+3，所以f′（x）=x²-2x-3．

∴解x²-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以

x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；

x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；

x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．

根据极值的定义知：x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=

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3]；x=3时，f（x）取到极小值f（3）=-6．

（2）f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，∵a≤1，∴a-1≤0

∴若a-1=0，即a=1时f′（x）≥0，所以（-∞，+∞）是f（x）的单调增区间；

若a＜1时，解（x-1）²+a-1=0得：x=1±

1−a，所以：

x∈（-∞，1−

1−a）时，f′（x）＞0，∴（-∞，1−

1−a）是f（x）的单调增区间；

x∈（1−

1−a，1+

1−a）时，f′（x）＜0，∴[1−

1−a，1+

1−a]是f（x）的单调减区间；

x∈（1+