解题思路:延长GH交CD于N,则NH=40sinθ,CN=40cosθ.将面积表示为S=(50-40cosθ)(50-40sinθ).利用三角函数的性质化简并利用二次函数求出最值.从而解得本题
延长GH交CD于N,则NH=40sinθ,CN=40cosθ.
∴HM=ND=50-40cosθ.AM=50-40sinθ.
∴S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)
=100[25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ],(0≤θ≤
π
2)
令t=sinθ+cosθ=
2sin(θ+
π
4),
则sinθcosθ=
t2-1
2,且t∈[1,
2].
∴S=100[25-20t+8(t2-1)]
=800(t-
5
4)2+450.
又∵t∈[1,
2],
∴当t=1时,S取最大值500.
此时,
2sin(θ+
π
4)=1,
∴sin(θ+
π
4)=
2
2.
∵[π/4≤θ+
π
4≤
3π
4],
∴θ+
π
4=
π
4或
3π
4
即θ=0或θ=
π
2.
答:当点H在
EF的端点E或F处时,该健身室的面积最大,最大面积为500m2.
点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.
考点点评: 本题考查三角函数的图象和性质,函数求最值等知识的综合运用.属于中档题.