某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示),ABCD是一块边长为50m的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一

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  • 解题思路:延长GH交CD于N,则NH=40sinθ,CN=40cosθ.将面积表示为S=(50-40cosθ)(50-40sinθ).利用三角函数的性质化简并利用二次函数求出最值.从而解得本题

    延长GH交CD于N,则NH=40sinθ,CN=40cosθ.

    ∴HM=ND=50-40cosθ.AM=50-40sinθ.

    ∴S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)

    =100[25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ],(0≤θ≤

    π

    2)

    令t=sinθ+cosθ=

    2sin(θ+

    π

    4),

    则sinθcosθ=

    t2-1

    2,且t∈[1,

    2].

    ∴S=100[25-20t+8(t2-1)]

    =800(t-

    5

    4)2+450.

    又∵t∈[1,

    2],

    ∴当t=1时,S取最大值500.

    此时,

    2sin(θ+

    π

    4)=1,

    ∴sin(θ+

    π

    4)=

    2

    2.

    ∵[π/4≤θ+

    π

    4≤

    4],

    ∴θ+

    π

    4=

    π

    4或

    4

    即θ=0或θ=

    π

    2.

    答:当点H在

    EF的端点E或F处时,该健身室的面积最大,最大面积为500m2

    点评:

    本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.

    考点点评: 本题考查三角函数的图象和性质,函数求最值等知识的综合运用.属于中档题.