Question

已知数列{an}中a1=[3/5]，an=2-[1an−1（n≥2，n∈N*），数列 {bn}，满足bn=1a

Answer 1

（1）由题意知b_n=

1

an−1，∴b_n-b_n-1=

an−1

an−1−1-

1

an−1−1=1（n∈N*），

∴数列{b_n]是首项为b₁=

1

a1−1=-

5/2]，公差为1的等差数列．

（2）依题意有．a_n-1=[1

n−

7/2]

S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=−

2

5−

1

n−

5

2，

设函数 y＝

1

x−

5

2，则函数在（ [5/2]，+∞）上为减函数．

S_n在[3+∞）上是递增，且S_n＜−

2

5，故当n=3时，且S_n=−

2

5−

1

n−

5

2，取最小值-[12/5]．

而函数 y＝

1

x−

5

2在（-∞，[5/2]）上也为减函数，S_n在（1，2]上是递增，且S_n＞−

2

5，

故当n=2时，S_n取最大值：S₂=[8/5]．S_n的最大值为 [8/5]．

a的最大值与b的最小值分别为-3，2