Question

已知a,b,c∈R,求证a³+b³+c³≥3abc

Answer 1

a^3+b^3+c^3=1/2(2a^3+2b^3+2c^3)

=1/2[(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3)]

=1/2[(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)]

根据均值不等式

1/2[(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)]

>=1/2[ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)]

=1/2(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2)

=1/2[a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+c^2)]

再次由均值不等式

1/2[a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+c^2)]

>=1/2(2abc+2abc+2abc)=3abc

综上,a^3+b^3+c^3>=3abc