Question

（2010•南开区二模）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2006x+log2x，则在R上f（x）的

Answer 1

解题思路：依题意，构造函数g（x）=2006^x，h（x）=-log₂x=

log

1

2

x

，在在同一坐标系中，作出二函数在区间（0，+∞）上的图象，利用函数f（x）为定义在R上的奇函数，判断即可得到答案．

当x＞0时，f（x）=2006^x+log₂x=0得：2006^x=-log₂x=log

1

2x，

令g（x）=2006^x，h（x）=-log₂x=log

1

2x，

在同一坐标系中，作出二函数在区间（0，+∞）上的图象，

∵x＞0时，f（x）=2006^x+log₂x，为区间（0，+∞）上的单调递增函数，

∴由图知，f（x）=2006^x+log₂x=0在（0，+∞）上有一个零点；

又f（x）=2006^x+log₂x为定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0且f（x）=2006^x+log₂x在区间（-∞，0）上有且只有一个零点；

综上所述，在R上f（x）的零点个数为3个，

故选：C．

点评：

本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数的奇偶性的应用，考查作图与识图能力，属于中档题．