(1)证明：如图连接OC,交DB于点E
∵圆周角CDB=∠OBD=30°
∴圆心角BOC=60°,DC//OB
∴△BOE中 ∠BEO=90°
又直线AC平行于直线BD
∴∠BEO=∠ACE=90°
即AC⊥CO且点C在圆上
所以AC为圆O的切线.
(2)∵∠BOC=60°,OC=OB
∴△OCB为等边三角形
同理△ODC等边三角形
∴四边形ODCB为菱形
∴S△OEB=S△CED
∴S阴影=S扇形OCB
∵DB=6√3 易得圆半径R=6
∴S扇形OBC=1/2*R*弧BC=1/2*∠BOC*R^2=6π
∴S阴影=6π(楼下评论请注意,本答案无误!)