Question

与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦．过有心曲线（椭圆、双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．

Answer 1

解题思路：（1）取AB是椭圆的长轴，M为短轴的一个端点，即可得出结论；

（2）利用A，B点关于原点对称，设出A，B，M三点的坐标，由斜率公式即可求得结论．

（1）结论；若AB是椭圆

x2

a2+

y2

b2＝1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-

b2

a2．

（2）证明：设A（x，y），M（x₀，y₀），则B（-x，-y），

∴k_AM•k_BM=

y−y0

x−x0•

−y−y0

−x−x0=

y2−

y20

x2−

x20=

b2(1−

x2

a2)−b2(1−

x20

a2)

x2−

x20=-

b2

a2．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查利用类比推理，由圆的性质类比猜想椭圆的类似性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于椭圆的一个类似结论．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．