解题思路：（Ⅰ）由x+1＞0，得f（x）的定义域为（-1，+∞）．因为对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），所以f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0由此能求出b．
（Ⅱ）由
f
′
(x)＝2x+
b
x+1
，函数f（x）在定义域上是单调函数，知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．由此能求出实数b的取值范围．
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2-ln（x+1）．令h（x）=f（x）-x3=-x3+x2-ln（x+1），则
h
′
(x)＝−3
x
2
+2x−
1
x+1
．由此入手能够证明
n
k＝1
f(
1
k
) ＜1+
1
2
3
+
1
3
3
+…+
1
n
3
．
（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞-1．
∴f（x）的定义域为（-1，+∞）．…（1分）
因为对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…（2分）
f′(x)＝2x+
b
x+1，
∴2+[b/2]=0，解得b=-4．…（3分）
经检验，b=-4时，f（x）在（-1，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增．
f（1）为最小值．故得证． …（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)＝2x+
b
x+1=
2x2+2x+b
x+1，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…（6分）
若f′（x）≥0，则2x+[b/x+1]≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x2-2x=-2（x+[1/2]）2+[1/2]恒成立，由此得b≥
1
2；…（8分）
若f′（x）≤0，则2x+[b/x+1]≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≤-2x2-2x=-2（x+[1/2]）2+[1/2]恒成立．
因−2(x+
1
2)2+
1
2在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[[1/2，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）当b=-1时，函数f（x）=x2-ln（x+1）．
令h（x）=f（x）-x3=-x3+x2-ln（x+1），
则h′(x)＝−3x2+2x−
1
x+1]=-
3x3+(x−1)2
x+1．
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，
即x2-ln（x+1）＜x3恒成立．
故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．…（12分）
∵k∈N*，∴[1/k∈(0，+∞)．
取x＝
1
k]，则有f(
1
k) ＜
1
k3．
∴
n
k＝1f(
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性质强，难度大，计算繁琐，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．