Question

如图：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=AA13=a，E，F分别是BB1，CC1上的点且B

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）欲证面ADF⊥面ACF，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADF内一直线与平面ACF垂直，根据题意易证CA⊥AD，而FC⊥面ACD，则CA是FA在面ACD上射影，FA∩AC=A，满足线面垂直的判定定理，则DA⊥面ACF，而DA⊂面ADF，满足面面垂直的判定定理．（Ⅱ）先根据VA1−AEF＝VE−AA1F将所求的体积进行转化，在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G，求出B1G，然后利用体积公式进行求解即可．

（Ⅰ）∵BE：CF=1：2

∴DC=2BD，∴DB=BC，

∵△ABD是等腰三角形，

且∠ABD=120°，∴∠BAD=30°，

∴∠CAD=90°，

∵FC⊥面ACD，

∴CA是FA在面ACD上射影，

且CA⊥AD，∵FA∩AC=A，

DA⊥面ACF，DA⊂面ADF

∴面ADF⊥面ACF．

（Ⅱ）∵VA1−AEF＝VE−AA1F．

在面A₁B₁C₁内作B₁G⊥A₁C₁，垂足为G．

B₁G=

3a

2

面A₁B₁C₁⊥面A₁C

∵B₁G⊥面A₁C，

∵E∈BB₁，而BB₁∥面A₁C，

∴三棱柱E-AA₁F的高为B₁G=

3a

2

3a

2S△AA1F=AA₁•[AC/2]=

3a2

2

∴VA1−AEF＝VE−AA1F＝

3a3

4

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．