Question

双曲线的一条渐近线和一条准线交与点M,点F是与该准线相对应的焦点,求证直线FM垂直于这条渐近线

Answer 1

证明:设双曲线的焦点在x轴

标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1

∴它的渐近线方程是y=±(b/a)x

准线方程是x=±a^2/c

现在假设取二、四象限的渐近线和二、三象限的准线

∴渐近线方程是y=-(b/a)x

准线方程是x=-a^2/c

设二者的交点M的坐标是（m,n)

m=-a^2/c

n=-(b/a)×（a^2/c)=ab/c

M(-a^2/c,ab/c)

而同侧的焦点F1的坐标是（-c,0)

则直线MF1的斜率k=(ab/c-0)/(c-a^2/c)=ab/(c^2-a^2)=ab/b^2=a/b

渐近线的斜率是k2=-b/a

k×k2=(a/b)×(-b/a)=-1

∴直线FM垂直于这条渐近线